振動篩分機有限元計算精度與穩定性分析

    有限元分析的目的是利用分析結果驗證、修改并優化設計方案，所以保證精度與計算穩定性是建模首要考慮的問題。有限元分析是一個復雜的計算過程，計算結果精度與很多因素有關，因而對結果精度做出定量估計非常困難。通過誤差分析，找出有限元分析過程中產生誤差的原因，然后定性的提出提高結果精度的方法，使計算結果穩定可靠。
    從有限元分析的整個過程來看，計算結果的誤差主要來自兩個方面：模型誤差和計算誤差。計算誤差是利用計算機對模型進行數值計算時所產生的誤差，誤差的性質是舍入誤差和截斷誤差，在此不作考慮，主要對模型誤差進行分析。模型誤差是指將實際問題抽象為適合計算機求解的有限元模型時所產生的誤差，即有限元模型和實際問題之間的差異。產生這類誤差的原因主要有以下三種。

    （1）離散誤差有限元法是將一個連續的彈性體離散為由有限個單元組成的組合體，并在單元內用一假設的插值函數逼近真實函數。這樣插值函數與真實函數之間存在一定的差異，即離散誤差，其量級可以用式（5-51）來估計[114]。式中，h為單元特征長度尺寸； p 為單元多項式的最高階次；m 為函數在泛函中的 最高階倒數。從式（5-51）可知，離散誤差的大小與單元尺寸和插值多項式的階次有關。單元尺寸減小，插值函數的階次增高，都將使誤差減小，即，使有限元解收 斂于精確解。因此式（5-51）也對有限元解的收斂速度做出了量級估計。
    例如，對于三節點三角形位移單元，差值函數是線性函數，即 p = 1。由于在能 量泛函中只有位移函數本身，沒有位移導數，即 m = 0，所以位移誤差是 2 O ( h )，收 斂的速度也是 2 O ( h )。若用六節點三角形單元，差值函數是二次函數，則誤差和收 斂速度的量級變為 3 O ( h )。因此，如果所有單元的尺寸都減半，則三節點單元的誤 差級數為1 4，而六節點單元的誤差級數為1 8。后者的收斂速度比前者要快一倍。 圖 5-1 描述了單元尺寸和插值函數階次對于離散誤差的影響，（b）與（a）相比，說 明離散時所選取的單元尺寸減半或提高階次，則誤差精度將會減小，同時由式（5-51） 可知其收斂的速度增加。
    （2）邊界條件誤差
    進行有限元分析時，在分析結構與其它結構或外部環境的相互作用時，通過在模型上設置已知的邊界條件來表示。將結構實際工況量化為模型邊界條件時，兩者之間可能存在一定的差異，即為邊界條件誤差。邊界條件誤差來自兩個方面。第一是對實際工況進行定量表示時產生的，屬于測量誤差，有較大的偶然性。只有較準確地掌握實際受力大小、位移狀態和溫度分布才能減小這類誤差。第二類邊界條件誤差來自載荷的移置，這是有限元法離散所引起的。由于在有限元計算過程中，設置在模型上的所有非節點集中載荷、分布的棱邊載荷、表面載荷以及體積力等都需要移置為等效的節點載荷，這與結構的實際載荷情況并不一致，因而也會帶來一定的誤差。根據圣維南原理，振動篩分機載荷移置僅對載荷附近的局部特性有影響，而對整個結構的力學性能影響不大。當需要考察結構在載荷附近的局部特性時，可以通過加密網格的方法來減小載荷移置的影響。
    （3）單元形狀誤差
    單元的網格形狀對計算結果的誤差大小有影響。如三節點三角形內部應力的誤差可以用式（5-52）來估計： 2 E ≤ 4 M h / sinθ（5-52） 式中， 2 M 為真實位移場函數的二階導數在單元上的最大模； h 為三角形的最大邊 長；θ 為三角形的最大內角。 可以看出，當單元的三角形網格很“鈍”時，最大內角θ 接近180o，sinθ 近似 為零。出現這種情況時，即使單元分得很小，應力誤差仍可能非常大，所以在分網 時要盡量避免出現這類不規則的形狀。單元形狀對誤差的影響一般限于單元內部或 相鄰單元，因此當整個模型中存在少數形狀較差的單元時，對整個模型的變形不會 影響太大，但對局部應力的影響較大，因此在應力集中時盡量劃分比較規則的網格。